次高斯随机变量及其性质

1)次高斯随机变量是根据其中心化的矩母函数来定义的，即

对任意$\lambda \in R$成立。其中$\sigma >0$称为次高斯参数。由该定义可知：

1. 它关于$X$具有对称性，即若$X$是关于参数$\sigma$的次高斯，则$-X$也是关于$\sigma$的次高斯。

2. 和高斯变量类似，满足线性性质，即独立次高斯变量$X_1$(关于${\sigma }_1$)和$X_2$（关于${\sigma }_2$）的和仍然是次高斯(关于$\sqrt{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2}$)。如果$X_1$和$X_2$相关，结论是否成立呢？

3. Radmacher随机变量是关于$1$的次高斯变量；

4. 有界随机变量$X\in [a,b]$是关于$b-a$的次高斯变量；也是关于$(b-a)/2$的次高斯随机变量，这个界更金一些。

2)根据Chernoff方法可以证明上偏差不等式和下偏差不等式为

从而由union bound可以得到Concentration inequality：

$$P(|X-\mu |\ge t)\le P(X-\mu \ge t)+P(X-\mu \le t)\le 2e^{-\frac{t^2}{2{\sigma }^2}}.$$

3)次高斯随机变量序列的极大值的期望不等式:假设$X_i$是一个均值为0的以$\sigma$为参数的次高斯序列（不要求独立），则对任意$n\ge 1$有$E(\underset{i}{max}{X}_i)\le \sqrt{2{\sigma }^2\log (n)}$。

证明： $\exp (E\underset{i}{max}{X}_i)\le E\exp (\underset{i}{max}{X}_i)=E\underset{i}{max}{e}^{X_i}\le \sum _{i}E{e}^{X_i}$,于是有$\exp (E\underset{i}{max}{X}_i)\le n\exp ({\sigma }^2/2)$,两边同时取对数，得到