统计假设检验-检验理论

假设检验

闲居

考虑一个size水平为 $α$ 的假设检验，其中原假设为 $H_{0} : θ \in Θ_{0} \subset Θ v s H_{1} : θ \in Θ_{1} = Θ / Θ_{0}$ .

功效函数

在参数假设检验中，功效函数 $β (θ)$ 定义为当真实参数等于 $θ$ 时拒绝原假设 $H_{0}$ 的概率。因此，功效函数的图像是在保持原假设固定，然后改变真实参数的值来得到的曲线图。用于评估在当前样本下，我们最优的假设 $θ$ 应该取什么值。假设 $W (Θ_{0})$ 是拒绝域，则 $β (θ) = P_{θ} {(X_{1}, \dots, X_{n}) \in W (Θ_{0})}$ 。

举一个简单的例子，假设我想检验的原假设为假设真实参数等于0，即 $H_{0} : θ = 0$ 。如果对应功效函数在 $θ = 1$ 处的值为 $β (1) = 0.5$ ，它表示如果真实参数等于1，那么该检验方法有50%的概率拒绝（错误的） $H_{0}$ 。

功效

功效的定义与功效函数有点区别，它是指在 $H_{0}$ 为假时，拒绝原假设的概率，也就是备择假设空间的功效函数值( $β (θ), θ \in Θ_{1}$ )。或者叫在备择假设成立时，样本落在拒绝域的概率。

影响功效的三个因素：1)所用的显著性水平 $α$ ；2)对总体中感兴趣的效应强度；3)用于探测该效应的样本容量。 # 无偏检验我们把功效函数 $β$ 满足如下条件的检验称为无偏检验，即

β (θ) \leq α, 若 θ \in Θ_{0}

β (θ) \geq α, 若 θ \in Θ_{1} .

直观理解是真实值落在备择假设空间时的功效比size水平更高，真实值落在原假设空间时的功效函数值比size水平更低。

举一个简单的例子，比如我们使用标准的t检验来检验 $H_{0} : θ \leq 0$ 和 $H_{1} : θ > 0$ .显著性水平 $α = 0.05$ 的标准的拒绝规则为 $T_{n} > 1.645$ 。假设我们仍然使用该规则来检验 $H_{0} : θ = 0 v s H_{1} : θ \neq 0$ ，则该检验就是一个有偏的检验，当 $θ \in (- \infty, 0)$ 时，我们可以证明 $β (θ) < α$ 。

为了更加具体地解释无偏检验和有偏检验，我们假设 $X_{i} \sim N (θ, 1)$ 。检验 $H_{0} : θ \leq 0$ 的t统计量为 $T_{n} = \sqrt{n} \bar{X}$ 并且

\sqrt{n} (\bar{X} - θ) \sim N (0, 1) .

因此，

β (θ) = P (T_{n} > 1.645) = P (\sqrt{n} (\bar{X} - θ) > 1.654 - \sqrt{n} θ) = 1 - Φ (1.645 - \sqrt{n} θ)

1)当 $θ \in Θ_{1}$ ，即 $θ > 0$ ,则有

β (θ) \geq 1 - Φ (1.645 - 0) = 1 - 0.95 = α .

2)当 $θ \in Θ_{0}$ ，即 $θ \leq 0$ ,则有

β (θ) \leq 1 - Φ (1.645 - 0) = 1 - 0.95 = α .

从而对于这个检验问题，t检验是无偏检验。

而检验 $H_{0} : θ = 0$ 的t统计量仍为 $T_{n} = \sqrt{n} \bar{X}$ 且 $β (θ) = 1 - Φ (1.645 - \sqrt{n} θ) .$

可以看出：当 $θ \in Θ_{1}$ 并且趋近于负无穷时， $β (θ) \to 0$ ，故对于这个检验问题，该检验方法是有偏的。

注：证明检验的无偏性，只需证明两点：
1)备择假设为真时的功效比size水平更高;
2)原假设为真时的功效函数值比size水平更低。

统计检验的理论分析

检验理论常常考虑如下几个方面：

1)第一类错误可以控制在名义水平（或者以下）：最理想的情况是证明在原假设为真时，检验统计量收敛到一个已知的分布（当然这个分布也可以在bootstrap意义上已知的），即 $H_{0}$ 为真时，有

sup_{α \in (0, 1)} | P (T_{n} > t_{1 - α}) - α | = o (1) .

有时只能得到保守检验方法，我们只能证明：

P (T_{n} > t_{1 - α} | H_{0} 为 真) \leq α .

2)检验的无偏性：这属于功效分析(Power analysis)的范畴。即证明：

β (θ) \leq α, 若 θ \in Θ_{0}

β (θ) \geq α, 若 θ \in Θ_{1} .

3)最小信号强度：这一块也属于功效分析的范畴。这是分析真实参数满足什么信号条件时，功效函数可以趋近于1。假设 $H_{0} : θ = 0$ 和可分集 $G_{(} c) = {θ : | θ | \geq n^{- 1 / 2} c}$ ，我们证明对于任意 $ϵ > 0$ ，有

inf_{θ \in G (2 + ϵ)} β (θ) \to 1.

其中

n^{- 1 / 2} (2 + ϵ)

称为最小信号强度。