功效函数

在参数假设检验中，功效函数\(\beta(\theta)\)定义为当真实参数等于\(\theta\)时拒绝原假设\(H_0\)的概率。因此，功效函数的图像是在保持原假设固定，然后改变真实参数的值来得到的曲线图。用于评估在当前样本下，我们最优的假设\(\theta\)应该取什么值。假设\(W(\Theta_0)\)是拒绝域，则\(\beta(\theta)=P_{\theta}\{(X_1,\cdots, X_n) \in W(\Theta_0)\}\)。

举一个简单的例子，假设我想检验的原假设为假设真实参数等于0，即\(H_0:\theta=0\)。如果对应功效函数在\(\theta=1\)处的值为\(\beta(1)=0.5\)，它表示如果真实参数等于1，那么该检验方法有50%的概率拒绝（错误的）\(H_0\)。

功效

功效的定义与功效函数有点区别，它是指在\(H_0\)为假时，拒绝原假设的概率，也就是备择假设空间的功效函数值(\(\beta(\theta), \theta \in \Theta_1\))。或者叫在备择假设成立时，样本落在拒绝域的概率。

影响功效的三个因素：1)所用的显著性水平\(\alpha\)；2)对总体中感兴趣的效应强度；3)用于探测该效应的样本容量。 # 无偏检验 我们把功效函数\(\beta\)满足如下条件的检验称为无偏检验，即 \[\beta(\theta) \leq \alpha, 若\theta \in \Theta_0\] \[\beta(\theta) \geq \alpha, 若\theta \in \Theta_1.\] 直观理解是真实值落在备择假设空间时的功效比size水平更高，真实值落在原假设空间时的功效函数值比size水平更低。

举一个简单的例子，比如我们使用标准的t检验来检验\(H_0:\theta \leq 0\)和\(H_1:\theta >0\).显著性水平\(\alpha=0.05\)的标准的拒绝规则为\(T_n>1.645\)。假设我们仍然使用该规则来检验\(H_0:\theta=0~~vs~~H_1:\theta\neq0\)，则该检验就是一个有偏的检验，当\(\theta \in (-\infty,0)\)时，我们可以证明\(\beta(\theta)<\alpha\)。

为了更加具体地解释无偏检验和有偏检验，我们假设\(X_i \sim N(\theta,1)\)。 检验\(H_0:\theta\leq 0\)的t统计量为\(T_n=\sqrt{n}\bar X\)并且 \[\sqrt{n}(\bar X - \theta) \sim N(0,1).\] 因此，\(\beta(\theta)=P(T_n>1.645)=P(\sqrt{n}(\bar X - \theta)> 1.654-\sqrt{n}\theta)=1 - \Phi(1.645-\sqrt{n}\theta)\).

1)当\(\theta \in \Theta_1\)，即\(\theta >0\),则有 \[\beta(\theta)\geq 1- \Phi(1.645-0)=1-0.95=\alpha.\]

2)当\(\theta \in \Theta_0\)，即\(\theta \leq 0\),则有 \[\beta(\theta)\leq 1- \Phi(1.645-0)=1-0.95=\alpha.\] 从而对于这个检验问题，t检验是无偏检验。

而检验\(H_0:\theta=0\)的t统计量仍为\(T_n=\sqrt{n}\bar X\)且\(\beta(\theta)=1 - \Phi(1.645-\sqrt{n}\theta).\)

可以看出：当\(\theta \in \Theta_1\)并且趋近于负无穷时，\(\beta(\theta)\rightarrow 0\)，故对于这个检验问题，该检验方法是有偏的。

注：证明检验的无偏性，只需证明两点：
1)备择假设为真时的功效比size水平更高;
2)原假设为真时的功效函数值比size水平更低。

统计检验的理论分析

检验理论常常考虑如下几个方面：

1)第一类错误可以控制在名义水平（或者以下）：最理想的情况是证明在原假设为真时，检验统计量收敛到一个已知的分布（当然这个分布也可以在bootstrap意义上已知的），即\(H_0\)为真时，有 \[\sup_{\alpha \in (0,1)}|P(T_n > t_{1-\alpha}) - \alpha|=o(1).\] 有时只能得到保守检验方法，我们只能证明： \[P(T_n > t_{1-\alpha}|H_0为真)\leq \alpha.\]

2)检验的无偏性：这属于功效分析(Power analysis)的范畴。即证明： \[\beta(\theta) \leq \alpha, 若\theta \in \Theta_0\] \[\beta(\theta) \geq \alpha, 若\theta \in \Theta_1.\]

3)最小信号强度：这一块也属于功效分析的范畴。这是分析真实参数满足什么信号条件时，功效函数可以趋近于1。假设\(H_0:\theta=0\)和可分集\(G_(c)=\{\theta: |\theta|\geq n^{-1/2} c\}\)，我们证明对于任意\(\epsilon >0\)，有 \[\inf_{\theta \in G(2+\epsilon)} \beta(\theta) \rightarrow 1.\] 其中\(n^{-1/2}(2+\epsilon)\)称为最小信号强度。