矩阵列空间

列空间、列空间，我们常常谈论矩阵列空间。顾名思义，它就是由矩阵的所有列张成的一个向量空间，数学定义如下：

假设\(A \in R^{n\times p}\)，则 \[column(A) =\{y: y=x_1 a_1 + \cdots + x_p a_p, x \in R^p\} = \{y: y=Ax, x \in R^{p}\},\] 这里\(column(A)\)表示\(A\)的列空间(column space)，有的记作\(span_c(A)\)，该空间的维数不超过\(p\)。当且仅当它为列满秩时，它是一个\(p\)-维向量空间。

同理，可以定义\(A\)的行空间，也就是\(A\)转置的列空间。有以下重要性质：

1. 若\(A\)为对称矩阵，则行列空间相等；

2. \(column(\Sigma^{-1} A) \subset \mathcal{S}\) \(\Rightarrow column(A) \subset \Sigma \mathcal{S}\)，其中\(\Sigma \mathcal{S}= \{y: y=\Sigma x, x \in \mathcal{S}\}\)。